中考数学中的存在性问题
副标题:中考数学中的存在性问题
作者:陈建华 发表时间:2014/3/26 点击数:1753

一、存在性问题的重要性

l      有关数据列举

Ø      08      23题(3)——直角三角形——3

Ø      09      21题——等腰梯形、直角梯形——4  

           23­3)——等腰三角形——3

Ø      10      19题——直角梯形、平行四边形、菱形——9

23题——平行四边形——4    

Ø      11      22题——菱形存在性、直角三角形——8

23题——正方形存在性——3

Ø      12      15题——直角三角形存在性——3

           23题(3)——点的存在性(面积之比)——3

Ø      13      15题——直角三角形存在性——3

           19题——菱形、直角梯形——4

23题(2)——平行四边形——6

23题(3)——角度——2

l      解决存在性问题的重要性

在近年来河南中考数学考试中,存在性问题所占分值大概为6——12分;填空最后一题常考查直角三角形存在性;小证明往往考查特殊四边形的存在性,如平行四边形、菱形、直角梯形等;压轴题中至少有1问会考查存在性问题,如角度的存在性,平行四边形的存在性等。

2013年河南中考数学试卷为例,

Ø      填空最后1题(15题)结合折叠考查直角三角形存在性

Ø      小证明(19题)在动点背景下考查菱形存在性和直角梯形存在性

Ø      压轴题(23题)第2小问考查平行四边形存在性,第3小问考查角度的存在性。

存在性问题往往背景复杂,涉及知识广泛,是中考数学中的一类常见的综合性问题。这类问题不仅仅考查学生应用知识和技能的能力,还对学生在不同情境中提取信息、分析问题、设计方案的能力有较高的要求。不仅能够较为准确的评测出学生的数学素养和思维能力,而且也是巩固知识间联系、训练学生思维的优秀载体。

存在性问题是探讨是否存在点,使其满足某种特殊关系或图形状态的问题。常以函数为背景,结合动点、动线,考查分类、画图、建等式计算.大致可分为两类:

·图形状态:平行、垂直、角度定值、线段倍分、面积成比例等;等腰三角形、直角三角形;平行四边形、菱形、梯形等。

·图形间关系:全等三角形、相似三角形等。

存在性问题——等腰三角形

①两定一动(两圆一线)

②夹角固定、两点动(借助三线合一找相似)

③三动点(分析不变特征,表达边或角)

存在性问题——直角三角形

从直角入手,确定分类.常利用勾股定理逆定理、三等角模型、 解决问题.

存在性问题——等腰直角三角形

从直角入手,确定分类.常构造弦图模型解决问题.

存在性问题——平行四边形

①三定一动

②两定两动

以定线段作边或对角线,确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解.

③三动点或四动点

往往有不变特征,如两边始终平行,满足相等即可.

存在性问题——菱形

通常转化为等腰三角形存在性处理,亦可借助菱形性质解决.

存在性问题——梯形

①等腰梯形存在性通常直接表达两腰长,利用两腰相等建等式;

两腰不易表达,借助对称性和中点坐标公式联立求解.

②直角梯形存在性关键是利用好直角.

存在性问题——相似三角形

①目标三角形确定:先研究目标三角形的边角关系,根据对应关系分类,借助比例关系建等式.

②目标三角形不确定:从角度、对应关系入手,结合不变特征分析,根据对应关系分类,借助比例关系建等式.

存在性问题——全等三角形

①目标三角形确定:先研究目标三角形的边角关系,根据对应关系分类,借助边、角相等建等式.

②目标三角形不确定:从角度、对应关系入手,结合不变特征分析,根据对应关系分类,借助边、角相等建等式.

存在性问题——角度

和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理,一般过定点构造直角三角形,借助三等角模型建等式.

垂直平分常见处理思路

①运用垂直平分线性质,边相等建等式.

②垂直考虑直角处理思路,平分可考虑中点用法.如中点坐标公式,

③将垂直平分线看作折痕,利用折叠转移条件.

斜直角处理思路

处理原则:斜转直.

通常在直角顶点所在处,构造相似模型(如三等角模型),借助相似建等式.

三等角模型处理思路。

/陈建华

一四年三月二十六日

 

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